התשיעי של דדקינד

האם אפשר לנסח סדרת מספרים שכבר את האיבר העשירי שבה קשה לדמיין איך נוכל אי פעם לחשב? במקרה שלפנינו, אפילו המתמטיקאי בן המאה ה-19 שניסח את הסדרה, ריכרד דדקינד (Dedekind) הרים ידיים כבר אחרי המספר הרביעי.

דדקינד עסק בין השאר בתורת המספרים, והיה הראשון שהגדיר בצורה מדויקת מהי קבוצה אינסופית. הוא ידוע גם בזכות ההגדרה שלו למספרים ממשיים. במסגרת עבודתו הוא ניסח סדרת מספרים שקרויה על שמו: מספרי דדקינד. אפשר להגדיר את הסדרה בכמה דרכים, ולשם הבהירות נציג כאן את הדרך הכי חזותית מביניהן.

קובייה רבת ממדים

ההגדרה הזאת מבוססת על הכללת מושג הקובייה למספר ממדים שונה משלושה. קובייה בשני ממדים היא הצורה המוכרת לנו בתור ריבוע. כדי לתת הגדרה כללית לקובייה ב-n ממדים, נתאר זאת כתהליך בנייה: באפס ממדים, קובייה אפס-ממדית היא נקודה. בממד אחד, ניקח את הנקודה ונמשוך ממנה קו למרחק של יחידה אחת לאורך הממד היחיד שברשותנו. קיבלנו קו שאורכו 1.

בשני ממדים, ניקח את הקו החד-ממדי ונמשוך אותו במאונך לממד הראשון, למרחק של יחידה אחת לאורך הממד השני. נקבל ריבוע דו-ממדי שאורך כל אחת מהצלעות שלו הוא 1.

בשלושה ממדים, ניקח את הריבוע הדו-ממדי ונמשוך אותו לאורך הממד השלישי למרחק של יחידה אחת במאונך לשני הממדים הראשונים. נקבל קובייה שאורך כל אחת מצלעותיה הוא 1. נוכל להמשיך את התהליך ובארבעה ממדים למשוך את הקובייה לאורך הממד הרביעי, וכן הלאה.

משמאל לימין: קובייה אפס-ממדית (נקודה), קובייה חד-ממדית (קו), קובייה דו-ממדית (ריבוע) וקובייה תלת-ממדית. לסדר הארבעה-ממדי קוראים טסרקט, ואותו יותר מאתגר לצייר | איור: טל סוקולוב

חזרה למספרי דדקינד. נסתכל על קובייה n-ממדית ונסובב אותה כך שאחד הקודקודים שלה יפנה למטה. מספר דדקינד ה-n הוא מספר הדרכים לצבוע את קודקודי הקובייה ה-n-ממדית, כך שקודקוד צבוע לעולם לא יימצא גבוה יותר מקודקוד שאינו צבוע, אלא לכל היותר באותו גובה שלו.

לדוגמה אם n=2, נסתכל על קובייה דו-ממדית, כלומר ריבוע. מספר דדקינד השני הוא מספר הדרכים שבהן אפשר לצבוע את ארבעת קודקודי הריבוע, כך שקודקוד צבוע לא יופיע מעל קודקוד לא צבוע, אלא לכל היותר באותו גובה. אם נשרטט את כל האפשרויות, נגלה שיש שש צביעות אפשריות כאלה.

מספר דדקינד השני. יש שש צביעות אפשריות של קודקודי הריבוע שבהן קודקוד צבוע יופיע אך ורק מתחת לקודקוד שאינו צבוע או בגובה זהה לו |איור: טל סוקולוב

דוגמה לצביעה בלתי חוקית לפי הגדרת מספרי דדקינד, משום שקודקוד לבן נמצא מתחת לקודקודים הכחולים | איור: טל סוקולוב

לקובייה חד-ממדית, כלומר קו עם שני קודקודים בקצותיו, קיימות שלוש צביעות כאלו. נסו וראו בעצמכם. מי מכם שמחפשים אתגרים, מִצאו בבית קובייה תלת-ממדית ונסו לגלות את כל עשרים הצביעות החוקיות לפי הגדרת מספרי דדקינד.

שלוש מתוך הצביעות האפשריות של קובייה תלת-ממדית, n=3 | איור: טל סוקולוב

מסתבך והולך

את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה דדקינד חישב בעצמו ומצא שהם 3, 6, 20 ו-168. ליתר דיוק, המספרים שהוא ציין היו נמוכים ב-2: 1, 4, 18 ו-166. שני מקרי הקיצון: הקבוצה הריקה (אף קודקוד לא צבוע) והקבוצה שכוללת את כל האפשרויות (כל הקודקודים צבועים), נחשבו טריוויאליים.

בשנת 1940 פורסם המספר החמישי בסדרה, 7579, שחושב גם הוא באמצעות ספירה ידנית. 7 שנים לאחר מכן, בחישוב שכבר דרש לתכנת בשבילו מחשב, פורסם המספר השישי, 7,828,354. 

המספר השביעי, 2,414,682,040,998 פורסם ב-1965 והמספר השמיני נאלץ לחכות לשיפור באיכות המחשבים ולשכלול של שיטות החישוב. רק ב-1991, בתום מאתיים שעות עבודה של מחשב משוכלל, פורסם המספר העצום 56,130,437,228,687,557,907,788. מדובר במספר של 23 ספרות – ויש מי שמעריכים את מספר גרגירי החול בכדור הארץ, ואת מספר הכוכבים ביקום בסדרי גודל דומים.

המספרים בסדרה הזאת גדלים במגמה מעריכית כפולה, כלומר ההתקדמות בגודל המספר הבא בסדרה מאיצה ככל שמתקדמים בה. מעבר לעצם גודלו של המספר, גם הקושי לחשב אותו גדל ממספר למספר. בשיטה שבה חושב המספר השמיני היו נדרשות מאות שנים לחשב את המספר התשיעי בסדרה.

המרוץ למספר התשיעי

באפריל 2023 פורסמו כמעט ביחד שני מאמרים שחישבו את המספר התשיעי בסדרה. שניהם הועלו לפלטפורמות קדם-פרסום בלבד ולא עברו עד כה בדיקה של מומחים (ביקורת עמיתים) כמקובל בכתבי עת מדעיים. כל אחד מהם השתמש בשיטה אחרת לחישוב המספר התשיעי, ושניהם הגיעו  לאותה תוצאה: המספר הבלתי נתפס 286,386,577,668,298,411,128,469,151,667,598,498,812,366. רוצים אתגר? נסו לדקלם אותו בנשימה אחת. זה מתחיל ב-286 סקסטיליארד. 

מאחורי המאמר הראשון עומד כריסטיאן יאקל (Jäkel) הגרמני, בוגר תואר ראשון, שפרסם בתחילת אפריל את החישוב שלו למספר התשיעי. יאקל השתמש לשם כך באובייקט מתמטי בשם סריג, שתכונותיו אפשרו לקצר את תהליכי החישוב. למרות הקיצור, החישוב דרש 28 ימים. זמן קצר לאחר מכן פרסם לנארט ון-הירטום (Hirtum) מבלגיה, שעבד על מציאת המספר התשיעי במסגרת לימודי התואר השני, חישוב משלו. ון-הירטום פיתח שיטת עיבוד שדרשה לחשב "רק" חמישה מיליארד מיליארדי ערכים (5X1018) בדרך לתוצאה הסופית. כדי לייעל את סוג החישובים שביקש לבצע הוא עיצב במיוחד חומרה ייעודית למטרה הזאת, וגם כך החישוב דרש חמישה חודשי עבודה של מחשב-על.

ון-הירטום ציין כי השיטה שהוא פיתח מאפשרת לקצר את חישוב המספר השמיני לשמונה דקות בלבד, במקום מאתיים השעות שנדרשו לכך בשנות ה-90. כמובן, גם השיפור הניכר בעוצמת המחשבים בזמן שחלף תרם לא מעט. אך האתגר אינו מוגבל רק על ידי כוח החישוב. יאקל מציין כי כדי למצוא את המספר התשיעי בדרך נאיבית, ללא קיצורי דרך, יידרש זיכרון מחשב שעולה על כל כמות האחסון הדיגיטלי שזמין בעולם. הגדילה המעריכית הכפולה מבטיחה שהמספר הבא, העשירי, רחוק עדיין מהישג ידינו בטכנולוגיה ובטכניקות החישוב הקיימות, ואילו ון-הירטום משער שלא יצליחו לחשב אותו לעולם, ולבטח לא בימי חייו.