איך כלי מחקר מתקדמים איששו השערה קרובה מאוד להשערה בת מאות שנים של לאונרדו דה וינצ'י בנוגע לצורתם של עצים
יש שמבטו של גאון תופס תופעות וחוקי טבע אף שאי-אפשר להוכיח את נכונותם בימי חייו. את המשפט האחרון של פרמה, הלא הוא המתמטיקאי בן המאה ה-17 פייר דה פרמה (de Fermat), הצליחו להוכיח רק אחרי יותר מ-300 שנים, והחלקיק הנקרא בוזון היגס התגלה בפועל רק כמעט 50 שנה אחרי שהפיזיקאי הבריטי פיטר היגס (Higgs) שיער שהוא קיים.
זמן רב לפני התיאוריות המורכבות האלו, הגה איש הרנסנס לאונרדו דה וינצ'י טענה פשוטה על המבנה של כל העצים בטבע. לפי טענה זו, אם נסתכל על הנקודה שבה ענף אחד מתפצל לכמה ענפים, נגלה שעוביו של ענף (שטח החתך שלו) שווה לסכום העוביים של הענפים המתפצלים ממנו. טענה זו היא גם פשוטה וגם נכונה במקרים רבים מאוד בטבע, ועל כן הפכה למוסכמה, מעין "כלל אצבע" שבעזרתו מדענים מתארים מבנה של עצים, על אף שקשה להסביר מדוע הוא נכון.
לאחרונה, פיזיקאים מהמרכז לפיזיקה גרעינית בסנט פטרסבורג החליטו לבחון את הכלל הזה של לאונרדו בעזרת כלים מדעיים מודרניים. ואכן, מחקרם, שהתפרסם בכתב העת המדעי Physical Review E, הראה שכלל דומה לכלל של לאונרדו נכון בעבור מגוון רחב של עצים! הכלל החדש קובע ששטח הפנים הכולל של הענף, מנקודת הפיצול שיוצרת אותו ועד לנקודה שבה הוא מתפצל לכמה ענפים קטנים יותר, שווה לסך שטח הפנים של כל הענפים הקטנים האלה, שמחושב באותה צורה. כלומר, שטח החתך בכלל לאונרדו המקורי הוחלף בשטח הפנים.
מימין: המחשה לטענתו של לאונרדו לגבי העובי של ענפים – העובי של ענף שווה לסכום העוביים של הענפים המתפצלים ממנו | מקור: Christophe Eloy © 2011 American Physical Society משמאל: דף ממחברתו של לאונרדו המתאר את הטענה
ענפים הם פרקטלים
במהלך המחקר, החוקרים ניסחו מחדש את כלל לאונרדו בעזרת מונחים מתחום המתמטיקה של הפרקטלים. פְרַקְטָל הוא אובייקט מתמטי המורכב מעותקים קטנים של עצמו, וגם עותקים אלה מורכבים מעותקים קטנים יותר של עצמם, וכן הלאה. כאלה הם למשל פתית שלג והמבנה של קו חוף. גם ענפים של עץ ניתנים לתיאור כפרקטלים, שכן כל אחת מההתפצלויות דומה בתכונותיה להתפצלויות שלפניה ואחריה, כלומר בכולן מתקיים כלל לאונרדו.
ואולם, לא כל הפרקטלים זהים – כלומר, בסוגים שונים של פרקטלים קיים יחס שונה בין האובייקט הגדול לעותקים הקטנים. כלל לאונרדו מתאר פרקטל מסוג ספציפי שנקרא פרקטל לוגריתמי. התכונות הספציפיות של פרקטל לוגריתמי אינן חשובות לענייננו, אבל עלינו להבין שכלל לאונרדו יהיה תקף לעץ רק אם העץ דומה בתכונותיו לפרקטל לוגריתמי, כלומר אם הענפים הקטנים של העץ הם עותקים שמרכיבים את הענפים הגדולים של העץ באותו אופן שבו הרכיבים הקטנים של פרקטל לוגריתמי הם עותקים שמרכיבים את הרכיבים הגדולים שלו.
עץ אינו דגימה מיקרוסקופית
כדי לקבוע מהו סוג הפרקטל המתאר עצים, השתמשו החוקרים ברעיונות תיאורטיים הנמצאים בבסיסו של כלי מחקרי מתחום הפיזיקה של ניתוח חומרים (material analysis). כלי זה נקרא "פיזור בזוויות קטנות". בשיטה זו מקרינים דגימה מיקרוסקופית בקרן אור או בקרן ניטרונים, ובודקים את מידת הסטייה של הקרן ממסלולה הישר. ניתוח של זווית הסטייה יכול ללמד אותנו רבות על הדגימה, ובפרט לקבוע אם היא בעלת מבנה פרקטלי ובאיזה סוג של פרקטל מדובר.
ואולם, עץ הוא בהחלט לא דגימה מיקרוסקופית. כדי להתמודד עם הקושי הזה השתמשו החוקרים בתמונות של עצים לאחר השלכת, כדי לראות בבירור את כל הענפים, והפעילו עליהם כלי ממוחשב לעיבוד תמונה המבוסס על כלי מתמטי בשם התמרת פורייה. בעזרת כלי זה קיבלו המדענים תוצאות שדומות בצורתן ובפירושן לתוצאות של ניסוי פיזור בזוויות קטנות, שמתארות את העצים כאילו היו דגימות מיקרוסקופיות. כעת יכלו החוקרים להשתמש בבסיס התיאורטי של ניסוי הפיזור כדי לבחון את העצים.
התוצאות איששו את השערת המחקר של המדענים. מגוון רחב של עצים שנבדקו אכן מתנהגים כפרקטלים לוגריתמיים, כלומר כלל לאונרדו המחודש – כלל שטח הפנים – נכון לגביהם. החוקרים לא ביקשו לבדוק ולא בדקו את הכלל המקורי, שדורש ניסור של הענף כדי לבדוק את עוביו. הם אף הדגישו במאמרם ששום עץ לא נפגע במהלך המחקר. לכן אי-אפשר לקבוע את נכונות הטענה המקורית של לאונרדו, הנוגעת לשטח החתך.
מחקר זה הוא דוגמה יפה לדרך שבה התפתחות גוף הידע האנושי מאפשרת לנו לפעמים לנסות לחזור אחורה ולבדוק השערות פשוטות יחסית, שהוצגו לפני מאות שנים והמתינו לנו מאז בסבלנות.
