מתמטיקאי חוצה גבולות

פרס אָבֶּל מוענק כל שנה מאז 2003 על תרומה יוצאת דופן ומשפיעה במיוחד במתמטיקה. הוא נוסד כדי לתקן את העוול ההיסטורי שלא כלל את המתמטיקה בתחומים שבהם מוענק פרס נובל. בין מקבלי הפרס אפשר למצוא את גדולי המתמטיקאים של תקופתנו, כמו ג'ון נאש ומייקל עטייה. השנה מוענק הפרס בפעם הראשונה לחוקר ישראלי, פרופסור הלל פורסטנברג (Furstenberg) מהאוניברסיטה העברית, עם פרופסור גריגורי מרגוליס (Margulis) מאוניברסיטת ייל בארצות הברית. 

פורסטנברג נולד בברלין ב-1935. אחרי "ליל הבדולח" ב-1938, הוא חצה את הגבול הראשון בחייו, ונמלט עם משפחתו מגרמניה הנאצית לארצות הברית. כבר כשהיה סטודנט לתואר ראשון במתמטיקה ב״ישיבה יוניברסיטי״, נראו ניצוצות ראשונים של גאוניותו כשפרסם את אחת ההוכחות היפות ביותר לקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים. ההוכחה עוסקת במספרים, אבני הבניין המוחשיות ביותר של המתמטיקה. אך היא עושה זאת באמצעות חציית הגבול לטופולוגיה: תחום מתמטי מופשט שלא מבדיל בין בייגל לספל תה, שעל פניו לא קשור למספרים. זאת הייתה הצצה אל העתיד. מחקרו המתמטי של פורסטנברג מתאפיין ביכולת יוצאת דופן לקשר בין מתמטיקה פשוטה, כמעט מוחשית, לרעיונות מתמטיים מופשטים ומופלאים במורכבותם. כמה שנים לאחר מכן, כשהתפרסם אחד ממאמריו שעורר גלים בעולם המתמטי, נפוצה שמועה שהמתמטיקאי החדש הוא למעשה כינוי לקבוצת מתמטיקאים. המאמר כלל רעיונות חוצי גבולות מתחומים מתמטיים שונים כל כך, עד שנראה לא סביר כי מדובר בעבודתו של אדם יחיד! 

מוטט את החומות בין המופשט למוחשי, בין מתמטיקה טהורה ליישומית. הלל פורסטנברג | צילום: Yosef Adest, ויקיפדיה

הגשר המתמטי

פורסטנברג סיים את הדוקטורט באוניברסיטת פרינסטון ב- 1959, ועלה לישראל ב 1965 כדי להצטרף למכון איינשטיין למתמטיקה שבאוניברסיטה העברית. את רוב הקריירה עשה פורסטנברג כאן, במפעל חיים מתמטי של יישום שיטות מתחום ההסתברות כדי "לגשר על פערים עצומים בין תחומים מתמטיים מגוונים ושונים, וכך לפתור בעיות שנדמה היה שהן מעבר להישג ידינו", כפי שנאמר בהודעת האקדמיה הנורווגית למדעים בהכרזה על חתני הפרס. אחד המפתחות במחקרו היו הילוכים אקראיים. אלו תהליכים המורכבים מסדרה של "צעדים" אקראיים, כשלכל צעד אותה חוקיות, ובחינת האופן שבו הצעדים מצטברים זה על זה. למשל, אדם שבכל שניה פוסע צעד אחד לאחת מארבע רוחות השמיים, בצורה אקראית לחלוטין. כעבור זמן מה, נניח דקה, איננו יודעים כמובן היכן אותו אדם יימצא, אך עדיין יש בידינו לומר משהו על מיקומו. במהלך הדקה צעד האדם 60 צעדים. גם אם כולם היו באותו הכיוון, אנחנו יודעים שהוא לא יכול להתרחק יותר מ-60 צעדים מנקודת ההתחלה. אך מה אם לא כל הצעדים היו באותו הכיוון? נוכל לבחון את ההסתברות שהוא יימצא כעבור דקה בנקודה זו או אחרת. 

ככל שנאפשר מורכבות רבה יותר בכללים המגדירים כל "צעד", ונבחן את התוצאה לאחר יותר ויותר צעדים – כך נוכל לקבל מבנים מתמטיים מורכבים יותר ויותר, שיש להם חשיבות רבה גם בתחומים מדעיים אחרים.  פורסטנברג ומרגוליס לא כתבו מאמרים משותפים, אך השפיעו מאוד זה על עבודתו של זה. הם הראו איך אפשר לפרש מבנים אלו במגוון תחומים מתמטיים – גם כאלה שבמבט ראשון נראים לא קשורים להסתברות או לצעידת צעדים. מתוך הכאוס של האקראיות, הם ראו סדר חדש. יו"ר ועדת פרס אבל אמר על עבודתם של השניים כי הם "חצו גבולות בין תחומים מתמטיים ומוטטו את החומה שהפרידה בין המתמטיקה הטהורה למתמטיקה היישומית". 

הענן. פסל בלונדון שתכנן בעזרת אלגוריתם של הילוך אקראי | צילום: Andy Roberts from East London, England, ויקיפדיה

לרעיונות ולכלים שפיתח פורסטנברג הייתה השפעה נרחבת ביותר על המתמטיקה, וחוקרים רבים השתמשו בטכניקות שלו לגילוי תוצאות מרהיבות ומפתיעות. כך למשל ב-2004 הראו שני חוקרים כי במספרים הראשוניים מסתתרות סדרות חשבוניות ארוכות כרצוננו. המספרים הראשוניים מפוזרים באופן חסר חוקיות, לכאורה, על פני ציר המספרים. אך מתברר שהם מכילים רצפים של ראשוניים שמגיעים בהפרשים קבועים, ויוצרים סדרה חשבונית. כך במעין "סגירת מעגל" חזרו רעיונותיו של פורסטנברג אל המספרים הראשוניים, שמהם התחיל את מסעו חוצה הגבולות.