אנחנו בעד לשחק באוכל - במיוחד כשמדובר בפרינגלס. בוא לגלות איתנו את התכונות המתמטיות של החטיף
זוכרים איך בבית הספר, לפני הטיול השנתי, שוטטתם לאורך המדף בסופר בחיפוש אחר החטיף המושלם, ובסוף בחרתם בפרבולואיד היפרבולי? כלומר, צ׳יפס של פרינגלס.
איזה חטיף תרצו? אולי פרבולואיד היפרבולי? צ'יפס פרינגלס | Shutterstock, Mehaniq
לצורה המאוד מסוימת של החטיף הזה יש כמה תכונות מעניינות, שנבחרו בקפידה. בין השאר, התכונות האלו מאפשרות לו לעבור בחריץ שנראה במבט ראשון הרבה יותר מדי צר, כפי שהראה בטוויטר יוצר המדע הפופולרי קייל היל:
Potato chip math never lies https://t.co/10devU1CTn pic.twitter.com/J5fAaIxYVk
— Kyle Hill (@Sci_Phile) February 21, 2022
כפי שאפשר להתרשם מהסרטון, חתיכת הצ׳יפס, שהקימורים שלה מקנים לה מראה תלת-ממדי ברור, מצליחה בכל זאת לעבור בחריץ שעוביו בערך כעובי הצ׳יפס כשהוא שטוח.
הסוד של הצ׳יפס נובע מכך שהצורה שלו עונה להגדרה של "משטח ישרים". במשטח ישרים אפשר להעביר קו ישר דרך כל נקודה על המשטח, כך שכל נקודה על הישר נמצאת גם במשטח. רוב הקווים שעוברים בנקודה על המשטח לא ימצאו גם על המשטח לכל אורכם, אבל מובטח לנו שבכל נקודה על המשטח אפשר למצוא ישר אחד שמקיים את התנאי. צורה שקל לבחון בעזרתה את התכונה הזאת היא גליל. בעבור כל נקודה על מעטפת הגליל נוכל לבחור להעביר קו ישר בכיוון ציר הגליל, והוא יתלכד עם מעטפת הגליל. הכדור, לעומת הגליל, אינו משטח ישרים. בכל נקודה על מעטפת הכדור, כל קו ישר שננסה להעביר יצא מגבולות מעטפת הכדור.
מה מיוחד במשטח ישרים? דרך הנקודה הכחולה הנמצאת על מעטפת הגליל, אפשר להעביר קווים ישרים. רוב הקווים שנעביר לא ימצאו על משטח הגליל, כמו הקו האדום. אך מכיוון שהגליל הוא משטח ישרים, אפשר בכל נקודה למצוא לפחות קו אחד שימצא גם במשטח הגליל, והוא מסומן בשרטוט בירוק. בכדור לעומתו, אין קו כזה | Artishok, Shutterstock, Aleksandr Semenov, מריה גורוחובסקי
התכונה של משטח ישרים מאפיינת גם צורות הרבה פחות פשוטות, למשל טבעת מוביוס שטוחה - טבעת שנוכל ליצור אם ניקח רצועת נייר ארוכה ושטוחה, נסובב את אחד הקצוות שלה ב-180 מעלות ונצמיד את הקצוות של הרצועה זה לזה. ואם נחזור לדוגמה שהתחלנו ממנה, גם פרבולואיד היפרבולי הוא משטח ישרים. פרבולואיד היפרבולי הוא משטח גיאומטרי שמזכיר אוכף של סוס, והצ׳יפס בנוי כמקטע שלו.
פרבולואיד היפרבולי הוא משטח גיאומטרי שמזכיר אוכף של סוס, והצ׳יפס בנוי כמקטע שלו. תיאור גיאומטרי של פרבולואיד היפרבולי | ויקיפדיה, Cham
מכיוון שהצ׳יפס, הפרבולואיד ההיפרבולי, הוא משטח ישרים, דרך כל נקודה על גביו אפשר לשרטט קו ישר שנמצא כולו על גבי המשטח (למעשה, הפרבולואיד ההיפרבולי הוא משטח ישרים כפול. כלומר, בכל נקודה קיימים שני ישרים שונים שעונים להגדרה. אבל למטרה שלנו מספיק אחד). לכן נוכל להתחיל להשחיל את הצ׳יפס לתוך החריץ הדק תוך כדי סיבוב, כך שבכל פעם נמצא קו ישר שיפנה בכיוון החריץ. בכל שלב שבו הצ׳יפס עובר בחריץ, קו הצ׳יפס שעובר בחריץ הוא למעשה קו ישר שטוח.
בסרטון הזה רואים איך על ידי שרטוט של קווים ישרים בלבד, בשלושה ממדים, ניתן ליצור פרבולואיד היפרבולי:
I was a bit surprised that you can post a Pringle through a letterbox-
because twisting straight lines trace out the hyperbolic paraboloid Pringle shape pic.twitter.com/dzhXQaAspn
— Matt Henderson (@matthen2) February 20, 2022
למה פרבולואידים היפרבוליים אינם מתפוררים
הצורה של הצ׳יפס לא נבחרה כדי שיהיה משעשע ומתעתע להעביר אותה דרך חריצים דקים. יש לה עוד כמה תכונות שימושיות.
כאמור, הצ׳יפס הוא פרבולואיד היפרבולי, סוג של פרבולואיד. פרבולואיד הוא משטח גיאומטרי שאם נסתכל על חתכים שונים שלו נראה פרבולה, משוואה שבה המשתנה מגיע לחזקה שנייה (כמו \(y = a + bx + cx^2\)).
הפרבולואיד ההיפרבולי מוגדר על ידי שלושה משתנים, \(x, y\) ו-\(z\) לפי המשוואה: \(z = {{{y^2}\over b} – {{x^2} \over a}}\), כאשר \(a\) ו-\(b\) הם מספרים חיוביים. שלושת המשתנים מייצגים את שלושת הממדים של המרחב: אורך, רוחב וגובה. אף על פי שהפרבולואיד ההיפרבולי הוא משטח דו-ממדי, הוא "זקוק" למרחב התלת-ממדי כדי שיוכל להתעקם בתוכו בהתאם למשוואה. כדי לזהות את הפרבולות המסתתרות בתוך המשטח, כל מה שנרצה לשים לב אליו הוא שבעבור \(y=0\) נקבל \(z=-{{x^2} \over a}\), כלומר פרבולה ״בוכה״, ואילו בעבור \(x=0\) נקבל \(z={{y^2} \over b}\), פרבולה ״מחייכת״. שתי הפרבולות האלה הן דו-ממדיות, ומוכרות לנו כצורה של משוואה עם חזקה שנייה.
שתי הפרבולות, שהפוכות זו לזו בכיוונן, הן שנותנות לפרבולואיד ההיפרבולי את המבנה האוכפי שלו.
בתוך המשטח של הפרבולואיד ההיפרבולי מסתתרות שתי פרבולות, הפוכות בכיוונן | Shutterstock, matma
צורת האוכף יוצרת במרכז החטיף נקודת אוכף. לשם המחשת הנקודה, אם ניקח חתיכת פרינגלס (אולי דמיונית) ונביט לאורכה, נראה שבמרכז קו האורך יש נקודת מינימום. לעומת זאת, אם נביט על קו הרוחב של הפרינגלס, נראה שאותה הנקודה במרכז היא נקודת המקסימום של קו הרוחב.
נקודת אוכף היא נקודה יציבה, שבה השיפוע מתאפס, אף על פי שהיא איננה נקודת המינימום או המקסימום במשטח. יש גורמים שונים המשפיעים על שבריריות של עצם, ביניהם המבנה הגיאומטרי שלו. נקודת האוכף היא אחד הגורמים שהופכים עצם לקשיח יותר: היא מקשה את ההיווצרות של סדקים ושברים. אף אחד לא רוצה חטיף שמתפורר בקלות. חוץ מזה, הצורה הזאת נוחה לאריזה קומפקטית, מכיוון שהחתיכות מתיישבות זו על זו בצורה צפופה.
מי חשב שתכנון חטיפים הוא עניין למתמטיקאים?
