לחשוב מחוץ לקובייה

את הפתרון לקובייה ההונגרית אפשר לקבל בתור תרשים זרימה פשוט. מספר יחסית קטן של צעדים טכניים, המיוצגים במשפטי "אם כך... עשה כך..., אם אחרת – עשה ...", יובילו אתכם בבטחה אל המצב בו כל אחת מפאות הקובייה צבועה בצבע יחיד. תמיד מרשים לראות נער שבזמן שאתם הצלחתם לאתר את מקומו של הכפתור ל"צפייה בחלון מלא", סיים לסדר את הקובייה, בעיניים עצומות. אך מאחורי הקובייה ההונגרית יש הרבה יותר מאשר טכניקה וזריזות.

את המתמטיקה של הקובייה ההונגרית אפשר לחלק לשני רבדים, אחד עמוק יותר מהשני, ואנו נטבול תחילה במים הרדודים.

בקובייה שלי שלושה סוגי לבנים: צדדיות (מימין), פינתיות ומרכזיות | איור: Shutterstock

מסתדרים בשלשות

אחד הדברים המדהימים שממחישה לנו הקובייה הקטנה הזו (3 על 3 על 3), הוא כיצד ממדים נוספים של מרחב וכיוון יכולים לגרום למספר קטן לכל הדעות (3), להפוך למפלצת בלתי נתפסת של אפשרויות. כמה מצבים אפשריים קיימים כשרוצים לייצר קובייה הונגרית? בקובייה יש שלושה סוגים של "לבנים". יש את הלבנים המרכזיות, בעלות פאה גלויה אחת (6 כאלה, כל אחת בצבע שונה), יש את הלבנים הצדדיות בעלות שתי פאות גלויות  בשני צבעים (12 כאלה), ויש את הלבנים הפינתיות, בעלות שלוש פאות גלויות בשלושה צבעים. דבר חשוב נוסף שכדאי לשים לב אליו הוא שאין שתי לבנים זהות, אוסף הצבעים על כל לבנה הוא ייחודי לה.

בבואנו למקם את הפינה הראשונה, עומדות בפנינו שמונה אפשרויות. לאחר שמיקמנו את הלבנה הראשונה בפינה כלשהי, נותרו לנו שבע אפשרויות למקם את השנייה, אחר כך שש אפשרויות למקם את השלישית, וכן הלאה. כדי לחשב את סך כל הסידורים האפשריים, עלינו להכפיל את מספר האפשרויות שיש לנו למיקום כל לבנה פינתית, כלומר לכפול את כל המספרים מ-8 למטה. פעולה כזאת נקראת "עצרת", ומסמנים אותה !. במקרה שלנו, !8=40,320 (8x7x6x5x4 x3x2x1).

אם נשתמש בשיקולים אלה לחשב את מספר האפשרויות שיש לנו, אך הפעם למיקום הלבנים הצדדיות, נקבל !12, ועבור המרכזיות !6. בדיוק כפי שמכפילים אפשרויות של כל לבנה בנפרד, אפשר להכפיל את כולן יחד. לכן כמות האפשרויות למקם את שלושת סוגי הלבנים היא !12×!8×!6, שזה בערך 14,000,000,000,000,000 (כלומר 14 קוודריליון).  מספר ענק, אך טרם סיימנו. צריך לשקלל גם את האפשרויות לכיוון של כל לבנה, לאחר שבחרנו את מיקומה. לכל לבנה צדדית יש שתי אפשרויות, ולפינתיות – שלוש אפשרויות. לכן נצטרך להכפיל את התוצאה שקיבלנו בשתיים בחזקת 12 (2¹²), כפול שלוש בחזקת שמונה (3⁸) התוצאה היא בערך 520 קווינטיליון (חמש עם 20 אפסים אחריו). 

יש מצבים שאי אפשר להגיע אליהם בסידור תקני של הקובייה, למשל אם מוציאים לבנה ומרכיבים אותה הפוך | איור: Shutterstock

בפועל המצב טיפה פחות מורכב. ברגע שאנו מחזיקים קובייה הונגרית, נניח במצב מסודר לגמרי, מספר האפשרויות שהיא יכולה להימצא בהן קטן מעט יותר, משום שיש מצבים שאי אפשר "לסובב"  אליהם  קובייה במצב התחלתי מסוים. למשל, אם נתחיל מקובייה מסודרת וניקח לבנה צדדית, ננתק אותה משאר הקובייה ונרכיב אותה, לא יהיה אפשר להחזירה למצב מסודר בשום צירוף של סיבובים. הספירה הזו כוללת גם כמה אלפי מצבים "זהים" של הקובייה, למשל, מצב שבו הפאה האדומה כלפי מטה ייספר בנפרד ממצב שבו הפאה הצהובה כלפי מטה, אף שאין שום שינוי בסידור הלבנים עצמן. מספר המצבים שאפשר לקבל ממצב התחלתי נתון כלשהו הוא למעשה "רק" 43 קווינטיליון. חישבו ומצאו, שכדי לייצר קובייה אחת בכל אחת מהאפשרויות, תידרש כמות חומר השווה בנפחה לאדמת בריטניה כולה, בעומק של 36 קילומטר. אם אכן יעשו זאת, יוכלו הקוביות לכסות את פני כדור הארץ 275 פעמים!

סרטון של נאמברפייל על הצירופים האפשריים של קובייה הונגרית (באנגלית)

חבורה שכזאת

מתמטיקה איננה עוסקת רק במספרים. מתמטיקה עם מספרים היא למעשה רק דוגמאות או יישומים של המתמטיקה על קבוצה של ערכים מספריים שקל לנו  להבין את משמעותם והשלכותיהם על המציאות. אחד הענפים המרתקים של המתמטיקה הוא אלגברה מופשטת, עוסק במספרים ובפעולות שכולנו מכירים מאלגברה תיכונית, אך מכליל אותם לאובייקטים ופעולות כלליות יותר. דוגמה מאלפת לכך מספקת לנו הקובייה ההונגרית, ובאמצעותה נכיר את אחד המושגים הבסיסיים באלגברה: החבורה.

מהי חבורה אלגברית? קבוצת איברים המקיימים סט של חוקים מסוימים. למשל, פעולה על איברים בחבורה צריכה לייצר רק איברים שגם הם שייכים לחבורה. לכן כל המספרים הזוגיים (כולל שליליים) הם חבורה, בגלל שכאשר מחברים שניים מהם, נשארים עם מספר זוגי.  לעומת זאת, כל המספרים האי זוגיים אינם חבורה, משום שחיבור של שני אי-זוגיים נותן מספר זוגי. החוק הזה נקרא "סגירוּת".

הפעולה שביצענו על המספרים (חיבור, במקרה זה) היא חלק בלתי נפרד מהחבורה. אותה קבוצה של מספרים ופעולה אחרת ביניהם, למשל כפל, תתנהג באופן שונה לגמרי. לדוגמה: אם נשתמש בפעולת הכפל, אז גם הזוגיים וגם האי זוגיים מקיימים את החוק שהזכרנו (מכפלה של שני מספרים זוגיים נותנת מספר זוגי ומכפלה של שני אי-זוגיים תניב מספר אי-זוגי) ). האמת היא ששתי האחרונות אינן חבורות, בגלל שיש עוד שלושה חוקים שלא נדון בהם כאן. דוגמה נוספת מחיי היום-יום למערכת המקיימת את כלל הסגירות היא קבוצת הצבעים, עם הפעולה של ערבוב: ערבוב של שני צבעים תמיד ייתן צבע. גם זאת, אגב, לא חבורה.

כמו מספרי עמודים

ומה הקשר לקובייה ההונגרית? נגדיר קבוצה שבה האיברים אינם מספרים אלא סיבובים של פאות הקובייה. האיברים הבסיסיים בקבוצה הם סיבובים ב-90 מעלות של אחת מפאות הקובייה, אבל גם כל שאר הסיבובים, אלה הבנויים מכמה מהלכים (שכל אחד מהם הוא סיבוב של אחת הפאות ב-90 מעלות), גם הם איברים בקבוצה שלנו. יש גם איברים, שלמרות שאינם זהים, יביאו את הקובייה לאותו מצב סופי, למשל האיבר של סיבוב ב-90 מעלות בכיוון השעון את הפאה הקדמית, והאיבר של שלושה סיבובים (של 90 מעלות כל אחד) נגד כיוון השעון. גם לא מפריעה העובדה שיש אינסוף איברים בקבוצה.

כעת נותר לנו להגדיר ביניהם פעולה ולדאוג לכך שהפעולה תהיה כזאת שתוצאתה גם היא סיבוב מסוים של הקובייה. הפעולה הטבעית ביותר לכאורה היא שרשור, כלומר ביצוע של  הסיבובים (האיברים) זה אחרי זה. התוצאה של שרשור זה היא בוודאי גם סיבוב שהוא איבר מהקבוצה (לדוגמה 90 מעלות  ימינה את הפאה העליונה ואחר כך 180 מעלות את הפאה השמאלית, הוא האיבר שהוא שרשור של שניים (או שלושה) איברים). היצור המתמטי שיצרנו בעזרת ההגדרות האחרונות (איברים = סיבובים; פעולה = שרשור) הוא למעשה ייצוג של הקובייה ההונגרית כחבורה אלגברית.

הקבלה זו יכולה לסייע לנו להבין תכונות רבות של הקובייה ההונגרית, מאחר שאת הידע הרב שיש לנו על חבורות אלגבריות, אפשר לתרגם מיד לידע על הקובייה. בדיוק כפי שמספור עמודיו של ספר יעזור לנו להתמצא בסדר הדפים שלו (גם אם הם התפזרו לכל עבר) רק מפני שאנו יודעים את סדר המספרים על הציר המתמטי. להקבלה כזו קוראים במתמטיקה "איזומורפיזם".